\(x^2 – 3x -10 \gt 0\) অসমতাটির সমাধান কোনটি?

  • \(\left( -\infty, -1 \right) \cup \left( 4, + \infty \right)\)
  • \(\left( -\infty, -2 \right) \cup \left( 5, + \infty \right)\)
  • \(\left(\infty, 2 \right) \cup \left( 5, + \infty \right)\)
  • \(\left( -5, -\infty \right) \cup \left( \infty, 2 \right)\)

\( x^2 - 3x - 10 \gt 0 \\[3px] => x^2 - 5x + 2x - 10 \gt 0 \\[3px] => x(x-5)+ 2(x-5) \gt 0 \\[3px] => (x-5) (x+2) \gt 0 \\[7px]\)দুইটি রাশির গুণফল তখন ধনাত্মক হবে, যখন দুইটি রাশির দুইটি ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক। যেমন: (x+1)(x+2) অথবা (x-9) (x-12). উপরোক্ত অসমতাটির ক্ষেত্রে, অসমতাটির মান একবার ধনাত্মক এবং একবার ঋণাত্মক ধরে নিম্নে উপস্থাপন করা হলো:
শর্ত-(1): \(\\[3px](x-5) \gt 0 \\[3px] => x \gt 5 \space এবং \\[3px](x+2) \gt 0 \\[3px] => x \gt -2 \\[9px]\)শর্ত-(2):\( \\[3px](x-5) \lt 0 \\[3px] => x \lt 5 \space এবং \\[3px](x+2) \lt 0 \\[3px] => x \lt -2 \\[7px]\)শর্ত-(1) এবং শর্ত-(2) থেকে ৪টি গাণিতিক সম্পর্ক পাওয়া যাচ্ছে। যথা:\( I. x \gt 5 \\[3px]\)\( II. x \gt -2 \\[3px]\)\( III. x \lt 5 \\[3px]\)\( IV. x \lt -2 \\[7px]\)উপরের এই ৪টি গাণিতিক সম্পর্ক যাচাই বা শুদ্ধি পরীক্ষা করে নিতে হবে। যাচাই বা শুদ্ধি পরীক্ষা করার জন্য উক্ত সম্পর্ক অনুযায়ী, x এর যেকোন মান মূল ফাংশনে বসিয়ে তা যাচাই অথবা তার শুদ্ধি পরীক্ষা করে নিতে হবে। শুদ্ধি পরীক্ষার পর এই ৪টি গাণিতিক সম্পর্কের মধ্যে যে সম্পর্ক সমূহ মূল ফাংশনটিকে সিদ্ধ করে, উক্ত গাণিতিক সম্পর্কগুলোই হবে গ্রহণযোগ্য।
প্রথম গাণিতিক সম্পর্কটি শুদ্ধি পরীক্ষা করে দেখানো হলো:
মূল ফাংশনটি হচ্ছে: \(x^2 - 3x - 10 \gt 0 \\[3px]\)প্রথম গাণিতিক সম্পর্কটি হচ্ছে: \(x \gt 5 \\[3px]\)অর্থাৎ x এর এমন একটি মান যা +5 এর চেয়ে বড়। এখানে, x এর মান +5 এর চেয়ে বড় এমন যেকোন মান দিয়ে শুদ্ধি পরীক্ষাটি করা যাবে। এখানে, x এর মান 9 ধরে শুদ্ধি পরীক্ষাটি করা হলো।
\(x^2 - 3x - 10 \gt 0 \\[3px]= 9^2 - 3 \times 9 - 10 \gt 0 \\[3px]= 81 - 27 - 10 \gt 0 \\[3px]= 81 - 37 \gt 0 \\[3px]= 44 \gt 0 \\[3px]\) উপরোক্ত শুদ্ধি পরীক্ষার মাধ্যমে লক্ষ্য করা যাচ্ছে যে, 44 যা 0 এর চেয়ে বড়। অর্থাৎ, প্রথম গাণিতিক সম্পর্কটি \(x \gt 5 \)মূল ফাংশনটিকে সিদ্ধ করেছে। এভাবেই, বাকি ০৩টি গাণিতিক সম্পর্কের শুদ্ধি পরীক্ষা করে নিতে হবে।
সবগুলো গাণিতিক সম্পর্কের শুদ্ধি পরীক্ষা সম্পন্ন হলে দেখা যাবে, প্রথম এবং চতুর্থ গাণিতিক সম্পর্কটি মূল ফাংশনটিকে সিদ্ধ করেছে।
এখন, প্রথম গাণিতিক সম্পর্কটির ক্ষেত্রে বলা আছে, x এর মান +5 এর চেয়ে বড়। কিন্তু, এটি বলা নেই যে, +5 এর চেয়ে কত বড় হবে। তাই বলা যায়, x এর মান +5 থেকে অসীম বা \(Infinity \left( + \infty \right) \)। অর্থাৎ সীমাটি হবে \( \left(5, + \infty \right) \\[5px]\)আবার, চতুর্থ গাণিতিক সম্পর্কটির ক্ষেত্রে বলা আছে, x এর মান -2 এর চেয়ে ছোট। কিন্তু, এটি বলা নেই যে, -2 এর চেয়ে কত ছোট হবে। তাই বলা যায়, x এর মান -2 থেকে অসীম বা \( Infinity \left( - \infty \right) \)। অর্থাৎ সীমাটি হবে \(\left(- \infty, -2 \right) \\[5px]\)\(\left(5, + \infty \right) \)এবং\( \left(- \infty, -2 \right)\) এর সংযোগ বা \(Union \left(\cup \right)\) হবে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান।\( \\[5px]\)সঠিক উত্তর: \(\left(- \infty, -2 \right) \cup \left(5, + \infty \right)\)